Действия с дробями

Дроби, операции с дробями

Дробь — форма представления числа в математике. Дробная черта обозначает операцию деления. Числителем дроби называется делимое, а знаменателем — делитель.

Например, в дроби ​​\( \frac{5}{7}\)​​ числителем является число 5, а знаменателем — 7.

Дробь называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя. Если же числитель больше знаменателя или равен ему, то дробь называется неправильной.

Например, ​​​\( \frac{1}{3}​или \frac{5}{7} \)​​- это правильные дроби, а ​, ​​\( \frac{5}{3}, \frac{7}{7}​, \frac{35}{6}​ \)​​ — это неправильные дроби.

Дробь называют смешанной, если она записана как целое число и дробь. Это то же самое, что и сумма этого числа и дроби: ​\( 5\frac{2}{3}=5+\frac{2}{3} \)  

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число, то значение дроби не изменится, то есть,

например, ​\( \frac{3}{5}=\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 5}=\frac{12}{20} \)

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести две дроби к общему знаменателю, нужно:

  1. Числитель первой дроби умножить на знаменатель второй
  2. Числитель второй дроби умножить на знаменатель первой
  3. Знаменатели обеих дробей заменить на их произведение

Операции с дробями

Сложение. Чтобы сложить две дроби, нужно

  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Сложить новые числители обеих дробей, а знаменатель оставить без изменений

Пример: ​​\( \frac{3}{5}+\frac{1}{2}=\frac{6}{10}+\frac{5}{10}=\frac{11}{10}=1\frac{1}{10} \)

Вычитание. Чтобы вычесть одну дробь из другой, нужно

  1. Привести дроби к общему знаменателю
  2. Вычесть из числителя первой дроби числитель второй, а знаменатель оставить без изменений

Пример вычитания дробей:

\[ \frac{3}{5}-\frac{1}{2}=\frac{6}{10}-\frac{5}{10}=\frac{1}{10}. \]

Умножение. Чтобы умножить одну дробь на другую, следует перемножить их числители и знаменатели:

Пример умножения дробей:

\[ \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 1}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6}. \]

Деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, следует числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой дроби умножить на числитель второй:

Пример деления дробей:

\[ \frac{5}{3} : \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2}{3 \cdot 1} = \frac{10}{3} = 3 \frac{1}{3}. \]