Формулы сокращенного умножения используются для возведения чисел в степень, а также умножения этих чисел и различных выражений. Не редко такие формулы сокращающего умножения помогают вычислять примеры быстрее и компактней.

В этой статье рассмотрим самые популярные формулы сокращенного умножения. Затем сгруппируем формулы в табличку и рассмотрим некоторые примеры использования формул сокращающего умножения.

Таблица №1. Примеры использования формул сокращающего умножения для 7 класса

Как сократить формулы сокращенного умножения?

Квадрат суммы двух чисел:

В алгебре приведение целого выражения к стандартному виду многочлена осуществляется с помощью формул сокращенного умножения.

(a + b)2 = (a + b)(a + b)=a2 + 2ab + b2  = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (квадрат суммы двух чисел)

Выражение (a + b)2 — это квадрат суммы чисел a и b. По определению степени выражение (a + b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a + b)(a + b). Следовательно, из квадрата суммы мы можем сделать выводы, что

(a + b)2 = (a + b)(a + b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2,

т. е. квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа, плюс удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата суммы, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Многочлен a2 + 2ab + b2 называется разложением квадрата суммы.

Так как a и b обозначают любые числа или выражения, то правило даёт нам возможность сокращённым путём возводить в квадрат любое выражение, которое может быть рассмотрено как сумма двух слагаемых.

Пример. Возвести в квадрат выражение 3x2 + 2xy.

Решение: для того чтобы нам не производить лишних преобразований, воспользуемся формулой квадрата суммы двух чисел. У нас должна получиться сумма квадрата первого числа, удвоенного произведения первого числа на второе и квадрата второго числа:

(3x2 + 2xy)2 = (3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2

А сейчас, используя правило умножения и возведения в степень одночленов, упростим это выражение:

(3x2)2 + 2(3x2 · 2xy) + (2xy)2 = 9x4 + 12x3y + 4x2y2

Квадрат разности двух чисел:

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2 (квадрат разности двух чисел)

Выражение (a — b)2 — это квадрат разности чисел a и b. Выражение (a — b)2 представляет собой произведение двух многочленов (a — b)(a — b). Следовательно, из квадрата разности мы можем сделать выводы, что

(a — b)2 = (a — b)(a — b) = a2 — ab — ab + b2 = a2 — 2ab + b2,

т. е. квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа, минус удвоенное произведение первого числа на второе, плюс квадрат второго числа.

Из правила следует, что общая формула квадрата разности, без промежуточных преобразований, будет выглядеть так:

(a — b)2 = a2 — 2ab + b2

Многочлен a2 — 2ab + b2 называется разложением квадрата разности.

Это правило применяется к сокращённому возведению в квадрат выражений, которые могут быть представлены как разность двух чисел.

Пример. Представьте квадрат разности двух чисел в виде трёхчлена:

(2a2 — 5ab2)2

Решение: используя формулу квадрата разности двух чисел находим:

(2a2 — 5ab2)2 = (2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2

Теперь преобразуем выражение в многочлен стандартного вида:

(2a2)2 — 2(2a2 · 5ab2) + (5ab2)2 = 4a4 — 20a3b2 + 25a2b4

Разность квадратов двух чисел

a2 — b2 = (a + b)(a — b) (разность квадратов двух чисел)

Выражение a2 — b2 — это разность квадратов чисел a и b. Выражение a2 — b2 представляет собой сокращённый способ умножения суммы двух чисел на их разность:

(a + b)(a — b) = a2 + ab — ab — b2 = a2 — b2,

т. е. произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел.

Из правила следует, что общая формула разности квадратов выглядит так:

a2 — b2 = (a + b)(a — b)

Это правило применяется к сокращённому умножению таких выражений, которые могут быть представлены: одно — как сумма двух чисел, а другое — как разность тех же чисел.

Пример. Преобразуйте произведение в двучлен:

(5a2 + 3)(5a2 — 3)

Решение:

(5a2 + 3)(5a2 — 3) = (5a2)2 — 32 = 25a4 — 9

В примере мы применили формулу разности квадратов справа налево, то есть нам дана была правая часть формулы, а мы преобразовали её в левую:

(a + b)(a — b) = a2 — b2

При решении практических примеров в алгебре зачастую применяют формулы сокращенного умножения с переставленными местами левыми и правыми частями. Это особенно удобно, когда имеет место разложение многочлена на множители. На практике первые три формулы применяются как слева направо, так и справа налево, в зависимости от конкретной ситуации.

Формулы сокращенного умножения частенько называют тождествами сокращенного умножения. И здесь нет ничего удивительного, так как каждое равенство представляет собой тождество.

Другие формулы сокращенного умножения:

(a + b — c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab — 2ac — 2bc

Куб суммы двух чисел

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (куб суммы двух чисел)

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа.

        (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3

Пример выражения:

a)  (m + 2n)3 = m3 + 3·m2·2n + 3·m·(2n)2 + (2n)= m3 + 6m2n + 12mn2 + 8n3

б)  (3x + 2y)3 = (3x)3 + 3·(3x)2·2y + 3·3x·(2y)2 + (2y)3 = 27x3 + 54x2y + 36xy2 + 8y3

Куб разности двух чисел

(a — b)3 = a3 — 3a2b + 3ab2 — b3 (куб разности двух чисел)

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе число плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго числа минус куб второго числа.

(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3

Пример выражения:

а)  (2x – y)3 = (2x)3-3·(2x)2·y + 3·2x·y2 – y3 = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3

б)  (x – 3n)3 = x3-3·x2·3n + 3·x·(3n)2 – (3n)3 = x3 – 9x2n + 27xn2 – 27n3

Сумма кубов двух чисел

a3 + b3 = (a + b)(a2 — ab + b2) (сумма кубов)

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы самих чисел на неполный квадрат их разности.

a3+b3 = (a+b)(a2–ab+b2)

Пример выражения:

a)      125 + 8x3 = 53 + (2x)3 = (5 + 2x)(52 — 5·2x + (2x)2) = (5 + 2x)(25 – 10x + 4x2)

б)  (1 + 3m)(1 – 3m + 9m2) = 13 + (3m)3 = 1 + 27m3

Разность кубов двух чисел

a3 — b3 = (a — b)(a2 + ab + b2) (разность кубов)

Разность кубов двух чисел равна произведению разности самих чисел на неполный квадрат их суммы.

 a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2)

Пример выражения:

а) 64с3 – 8 = (4с)3 – 23 = (4с – 2)((4с)2 + 4с·2 + 22) = (4с – 2)(16с2 + 8с + 4)

б) (3a – 5b)(9a2 + 15ab + 25b2) = (3a)3 – (5b)3 = 27a3 – 125b3

Формула для нахождения четвертой степени суммы двух чисел имеет вид:

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab+ b4

Формула для нахождения четвертой степени разности двух чисел имеет вид:

(a — b)4 = a4 — 4a3b + 6a2b2 — 4ab+ b4

Данные формулы сокращенного умножения доказываются путем раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.

Таблица формул сокращенного умножения для учеников 7 классов

Рассмотрим семь основных формул сокращенного умножения, которые изучают ученики на уроках алгебры в 7 классе:

Таблица формул сокращенного умножения

Таблица формул сокращенного умножения

Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел:
Произведение суммы двух чисел на их разность равно разности квадратов этих чисел

Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:
Квадрат суммы двух чисел равен квадрату первого числа плюс удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа

Квадрат разности двух чисел равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа:
Квадрат разности двух числе равен квадрату первого числа минус удвоенное произведение первого числа на второе плюс квадрат второго числа

Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа:
Куб суммы двух чисел равен кубу первого числа плюс утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго плюс куб второго числа

Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа:
Куб разности двух чисел равен кубу первого числа минус утроенное произведение квадрата первого числа на второе плюс утроенное произведение первого числа на квадрат второго минус куб второго числа

Выражение Выражения а квадрат минус а умноженное на б плюс б квадрат в алгебре принято называть неполным квадратом разности. Если умножить сумму двух чисел на неполный квадрат разности этих чисел, то получим формулу суммы кубов.

Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности:
Сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел на их неполный квадрат разности

Выражение неполный квадрат суммы в алгебре, принято называть неполным квадратом суммы. Если умножить разность двух чисел на неполный квадрат суммы этих чисел, то получим формулу разности кубов.

Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы:
Разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их неполный квадрат суммы

Группа формул: сумма степеней

      Группа формул «Сумма степеней» составляет Таблицу 2. Эти формулы можно получить, выполняя вычисления в следующем порядке:

(x + y)2 = (x + y)(x + y) ,
(x + y)3 = (x + y)2(x + y) ,
(x + y)4 = (x + y)3(x + y)

      Группу формул «сумма степеней» можно получить также с помощью треугольника Паскаля и с помощью бинома Ньютона, которым посвящены специальные разделы нашего справочника.

      Таблица 2. – Сумма степеней

Название формулы Формула
Квадрат (вторая степень)
суммы
(x + y)2 = x2 + 2xy y2
Куб (третья степень) суммы (x + y)3 = x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
Четвертая степень суммы (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y4
Пятая степень суммы (x + y)5 = x5 + 5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 + 5xy4 + y5
Шестая степень суммы (x + y)6 = x6 + 6x5y + 15x4y2 + 20x3y3 + 15x2y4 + 6xy5 + y6

      Общая формула для вычисления суммы

(x + y)n

с произвольным натуральным значением   рассматривается в разделе «Бином Ньютона» нашего справочника.

Разность степеней

      Если в формулах из Таблицы 2 заменить  y  на  – y ,  то мы получим группу формул «Разность степеней» (Таблица 3.):

      Таблица 3. – Разность степеней

Название формулы Формула
Квадрат (вторая степень)
разности
(x – y)2 = x2 – 2xy y2
Куб (третья степень) разности (– y)3 = x3 – 3x2y + 3xy– y3
Четвертая степеньразности (– y)4 = x4 – 4x3y + 6x2y2 – 4xy3 + y4
Пятая степень разности (– y)5 = x5 – 5x4y + 10x3y2 – 10x2y3 + 5xy4– y5
Шестая степень разности (– y)6 = x6 – 6x5y + 15x4y2 – 20x3y3 + 15x2y4 – 6xy5 + y6

Квадрат многочлена

      Следующая формула применяется достаточно часто и называется «Квадрат многочлена»:

Квадрат многочлена формула

Что бы возвести многочлен в квадрат необходимо сложить его члены в квадрате и удвоенные произведения его членов попарно взятых.

Квадрат многочлена

Примеры квадрата многочлена

1. (1 + 2 + 3 + 4)2 =
12 + 22 + 32 + 42 + 2 • 1 • (2 + 3 + 4) + 23 • (3 + 4) + 2 • 3 • 4 =
1 + 4 + 9 + 16 + 2 • 1 • 9 + 2 • 2 • 7 + 24 =
30 + 18 + 28 + 24 = 100 ;
a = 1 ;
b = 2 ;
c = 3 ;
d = 4 ;
2. (2 + 3 + 4 + 5)2 =
22 + 32 + 42 + 52 + 2 • 2 • 3 + 2 • 2 • 4 + 2 • 2 • 5 + 2 • 3 • 4 + 2 • 3 • 5 + 2 • 4 • 5 =
4 + 9 + 16 + 25 + 12 + 16 + 20 + 24 + 30 + 40 = 196 ;
a = 2 ;
b = 3 ;
c = 4 ;
d = 5 ;
3. (5 + 6 + 7 + 8)2 =
52 + 62 + 72 + 82 + 2 • 5 • 6 + 2 • 5 • 7 + 2 • 5 • 8 + 2 • 6 • 7 + 2 • 6 • 8 + 2 • 7 • 8 =
25 + 36 + 49 + 64 + 60 + 70 + 80 + 84 + 96 + 112 = 676 ;
a = 5 ;
b = 6 ;
c = 7 ;
d = 8 ;

Куб трехчлена

      Следующая формула называется «Куб трехчлена»:

(x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3x2y + 3x2z + 3xy2 + 3xz2 + 3y2z + 3yz2 + 6xyz

Советы

  • Кубический многочлен является произведением трех многочленов первой степени или произведением одного многочлена первой степени и неразлагаемого многочлена второй степени. В последнем случае — после нахождения многочлена первой степени — используется деление для получения многочлена второй степени.
  • Все кубические многочлены с рациональными действительными корнями можно разложить. Кубические многочлены вида x^3 + x + 1, у которых иррациональные корни, нельзя разложить на многочлены с целыми (рациональными) коэффициентами. Хотя такой многочлен может быть разложен по кубической формуле, он не разлагается как целый многочлен.

Вместе с запросом «формулы сокращенного умножения» часто ищут:

формулы сокращённого умножения 7 класс формулы сокращенного умножения доказательство
формулы сокращенного умножения задания повышенной сложности формулы сокращённого умножения словами
формулы сокращенного умножения примеры формулы сокращённого умножения онлайн
формулы сокращенного умножения 7 класс контрольная работа формулы сокращенного умножения примеры с дробями