Комбінаторика

Комбінаторика: рішення задач за гроші

Завдання з комбінаторики на замовлення з інформатики та математики, початки теорії ймовірностей та елементи статистики

Короткий зміст статті

Замовити розв’язання задач з комбінаторики

Наші послуги:

Основні формули в комбінаторних задачах

Поєднання в комбінаториці

Перестановка в комбінаториці

Розміщення в комбінаториці

Розміщення і теорія ймовірностей

Як замовити і оплатити?

Замовити розв’язання задач з комбінаторики

Студенти на перших курсах навчання вивчають інформатику та вищу математику, початки теорії ймовірностей та елементи статистики. Одним з популярних розділів вищої математики є «теорія ймовірності». Теорія ймовірності, в свою чергу поділяється на інші підрозділи, серед яких одним з популярних є «Комбінаторика». Студенти вивчають елементи комбінаторики, вирішують основні завдання комбінаторики і вчать всі правила комбінаторики. Під час навчання у вузі студентам задають різні самостійні роботи, контрольні роботи та лабораторні роботи, на яких практикують: рішення практичних завдань на поєднання, рішення задач на перестановку, рішення задач на розміщення.

Комбінаторні задачі на замовлення – послуга, затребувана серед студентів, так як це досить складний підрозділ теорії ймовірності. Комбінаторику можна зустріти в деяких школах, де вирішують завдання для 11 класу. А в деяких школах можна побачити такі завдання в 5, 6, 7, 8 класах.

Практичні завдання з математики потрібно вміти правильно вирішувати ще в школі, так як під час вступу до вузу вже буде набагато складніше. Рішення задач в Україні проводиться українською мовою на єдиному державному іспиті (ЄДІ) – це форма державної підсумкової атестації за освітніми програмами середньої загальної освіти.

При проведенні ЄДІ використовуються контрольні вимірювальні матеріали (КВМ), що представляють собою комплекси завдань стандартизованої форми, а також спеціальні бланки для оформлення відповідей на завдання. ЄДІ проводиться письмово українською мовою.

Шановні школярі, випускники, абітурієнти,  ми допоможемо підготуватися до зовнішнього незалежного оцінювання з математики. ЗНО з математики ви швидко здасте, якщо добре підготуєтеся. Відповіді до тестів допоможуть засвоїти теоретичний матеріал та методику обчислень, систематизувати та підвищити накопичений рівень знань з математики.

В інтернеті можна часто побачити як школярі або їх батьки вводять такі запити:

• комбінаторика 5 клас завдання з рішенням;
• завдання на комбінаторики 5 клас;
• завдання з комбінаторики 10 клас;
• завдання з рішенням на комбінаторики 6 клас;
• завдання з комбінаторики з рішеннями 11 клас;
• комбінаторика завдання 8 клас;
• завдання на тему комбінаторика;
• підготовка до ЗНО з математики

Виходячи з цього, стає зрозумілим те, що з цього розділу математики і теорії ймовірності часто виникають складності і багато хто шукає фахівців, які зможуть допомогти в навчанні, як в школі, так і у вищому навчальному закладі.

Для того щоб заощадити ваш час на пошук потрібного автора ми створили біржу авторів, де ви можете собі підібрати будь-якого виконавця щоб розв’язати вашу контрольну роботу або самостійну чи практичну  роботу.

Наші послуги:

• завдання на тему комбінаторика з повтореннями;
• завдання з комбінаторики: перестановка, поєднання, розміщення
• індивідуальні завдання за гроші;
• виконуємо контрольні роботи на замовлення;
• робимо практичні роботи;
• знаходимо рішення імовірнісних задач;
• написання лабораторних робіт з комбінаторики;
• рішення задач на тему «біном Ньютона»;
• допоможемо знайти рішення зі збірників завдань;
• іноді вирішуємо завдання онлайн (дуже рідко є вільні автора);
• розв’язуємо задачі з комбінаторики на ймовірність;
• пишемо самостійні роботи;
• вирішуємо навіть найскладніші завдання з комбінаторики;
• дамо відповіді на тести з комбінаторики;

Основні формули в комбінаторних задачах

Поєднання в комбінаториці

В комбінаториці поєднанням з n по k називається набір k елементів, вибраних з даної безлічі, що містить n nразлічних елементів.

Формула для числа сполучень

Невпорядковані вибірки називаються поєднаннями з n елементів по m і позначаються Сnm.

Число сполучень визначається за формулою Сnm = n! / (n- m)! / m!

Набори, що відрізняються тільки порядком проходження елементів (але не складом), вважаються однаковими, цим поєднання відрізняються від розміщень.

Так, наприклад, набори (3-елементні поєднання, підмножини, k = 3) {2, 1, 3} і {3, 2, 1} 6-елементного безлічі {1, 2, 3, 4, 5, 6} ( n = 6) є однаковими (в той час як розміщення були б різними) і складаються з одних і тих же елементів {1,2,3}.

У загальному випадку число, що показує, скількома способами можна вибрати k елементів з безлічі, що містить n різних елементів, варто на перетині k-й діагоналі і n-го рядка трикутника Паскаля.

Приклад цікавого завдання на поєднання №1

(Вирішите задачу, використовуючи формули комбінаторики)

Скількома способами можна розставити 15 томів на книжковій полиці, якщо вибирати їх з наявних зовні нерозпізнаних 30-ти книг?

Рішення задачі:

Ми вирішуємо цю задачу в контексті роботи дизайнера інтер’єрів, тому порядок проходження на полиці 15-ти обраних зовні однакових книг не має значення. Потрібно визначити загальне число сполучень з 30 елементів по 15 по формулі С30 15 = 30! / (30- 15)! / 15! = 155117520.

Відповідь: 155117520.

Перестановка в комбінаториці

В комбінаториці перестановка – це упорядкований набір без повторень чисел 1,2, .. n, зазвичай трактований як бієкція на множині {1,2, .. n}, яка числу I ставить у відповідність i-й елемент з набору. Число n при цьому називається довжиною перестановки.

Формула для числа перестановок

Перестановками називаються такі вибірки елементів, які відрізняються тільки порядком розташування елементів, але не самими елементами.

Якщо перестановки виробляються на безлічі зn елементів, їх число визначається за формулою Pn = n · (n-1) · (n-2) … 3 · 2 · 1 = n!

n! – позначення, яке використовують для короткої записи множини всіх натуральних чисел від 1 до n включно і називають “n-факторіал” (в перекладі з англійської “factor” – “множник”).

В теорії груп під перестановкою довільної безлічі мається на увазі бієкція цієї безлічі на себе. Як синонім слову «перестановка» в цьому сенсі деякі автори використовують слово підстановка. (Інші автори підстановкою називають наочний спосіб запису перестановки.)

Термін перестановка виник тому, що спочатку бралися об’єкти, якимось чином розставлені, а інші способи впорядкування вимагали переставити ці об’єкти.

Приклад цікавого завдання на перестановку №2

На книжковій полиці поміщається 30 томів. Скількома способами їх можна розставити, щоб при цьому 1-й і 2-й томи не стояли поруч?

Рішення задачі:

Визначимо загальне число перестановок з 30 елементів по формулі P30 = 30! Щоб обчислити число “зайвих” перестановок, спочатку визначимо, скільки варіантів, в яких 2-й том знаходиться поруч з 1-им праворуч від нього. У таких перестановках 1-ий том може займати місця з першого по 29-е, а 2-й з другого по 30-е – всього 29 місць для цієї пари книг. І при кожному такому положенні перших двох томів інші 28 книг можуть займати інші 28 місць в довільному порядку. Варіантів перестановки 28 книг P28 = 28! Всього “зайвих” варіантів при розташуванні 2-го тому праворуч від 1-го вийде 29 · 28! = 29!.

Аналогічно розглянемо випадок, коли 2-й том розташований поруч з 1-им, але зліва від нього. Виходить таке ж число варіантів 29 · 28! = 29! Значить все “зайвих” перестановок 2 · 29!, а потрібних способів розстановки 30!-2·29!

Обчислимо це значення. 30! = 29!·30; 30! -2·29! = 29!·(30-2) = 29!·28.

Отже, нам потрібно перемножити всі натуральні числа від 1 до 29 і ще раз помножити на 28.

Відповідь: 2,4757335 · 10³²

Це дуже велике число (після двійки ще 32 цифри). Навіть якщо затратити секунду на кожну перестановку, то будуть потрібні мільярди років. Чи варто виконувати таку вимогу замовника, або краще вміти обґрунтовано заперечити йому і настояти на застосуванні додаткових обмежень?

Розміщення в комбінаториці

В комбінаториці розміщенням (з n по k) називається упорядкований набір з k різних елементів з деякого безлічі різних n елементів.

Формула для числа розміщень

Розміщеннями з n елементів по m (Місць) називаються такі вибірки, які маючи по m елементів, вибраних з числа даних n елементів, відрізняються одна від одної або складом елементів, або порядком їх розташування.

Число розміщень з n по m позначається A_n^m і визначається за формулою
A_n^m = n·(n− 1)·(n− 2)·…·(n−m+ 1) =n!/(n − m)!

Приклад 1: 〈1, 3, 2, 5〉- це 4-елементне розміщення з 6-елементного безлічі {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Приклад 2: деякі розміщення елементів множини {1, 2, 3, 4, 5, 6} по 2:

〈1,2 〉〈1,3 〉〈1,4 〉〈1,5 〉…〈2,1 〉〈2,3〉〈2,4 〉…〈2,6 〉На відміну від поєднань, розміщення враховують порядок проходження предметів. Так, наприклад, набори 〈2, 1, 3〉і〈 3, 2, 1〉є різними, хоча складаються з одних і тих же елементів {1, 2, 3} (тобто збігаються як поєднання).

Заповнити ряд – значить треба помістити на якомусь місці цього ряду будь-якої об’єкт з даної множини (причому кожен об’єкт можна використовувати всього лише один раз). Ряд, заповнений об’єктами даного безлічі, називається розміщенням, тобто ми розмістили об’єкти на даних місцях.

Спробуємо обчислити за цією формулою A_nⁿ, тобто число розміщень з n по n.
A_nⁿ=n·(n-1)·(n-2)·…·(n–n+ 1) =n·(n-1)·(n-2)· … ·1 =n!

Таким чином, A_nⁿ=P_n=n!

Нічого дивного в тому, що число розміщень з n по n дорівнювала числу перестановок n елементів, адже ми використовували для складання розміщень всю безліч елементів, а значить, вони вже не можуть відрізнятися один від одного складом елементів, тільки порядком їх розташування, а це і є перестановки.

Приклад завдання на розміщення №3

Скількома способами можна розставити 15 томів на книжковій полиці, якщо вибирати їх з наявних 30-ти книг?

Рішення задачі:

Визначимо загальне число розміщень з 30 елементів по 15 по формулі
A₃₀¹⁵= 30·29·28·…·(30−15+1) = 30·29·28·…·16 = 202843204931727360000.
Відповідь: 202843204931727360000.

Будете розміщувати реальні книги? Успіхів! Порахуйте, скільки життів буде потрібно, щоб перебрати всі варіанти.

Приклад завдання №4

Скількома способами можна розставити 30 книг на двох полицях, якщо на кожній з них міститься тільки по 15 томів?

Рішення задачі:

Спосіб 1.

Уявімо собі, що першу полку ми заповнюємо так само, як в попередньому завданні. Тоді варіантів розміщення з 30-ти книг по 15 буде A₃₀¹⁵= 30·29·28·…·(30−15+1) = 30·29·28·…·16.

І при кожному розміщенні книг на першій полиці ми ще P₁₅= 15! способами можемо розставити книги на другій полиці. Адже для другої полиці у нас залишилося 15 книг на 15 місць, тобто можливі тільки перестановкі.Всего способів буде A₃₀¹⁵·P₁₅, при цьому множина всіх чисел від 30 до 16 ще потрібно буде помножити на добуток всіх чисел від 1 до 15, вийде множина всіх натуральних чисел від 1 до 30, тобто 30!

Спосіб 2.

Тепер уявімо собі, що у нас була одна довга полка на 30 місць. Ми розставили на ній все 30 книг, а потім розпиляли полку на дві рівні частини, щоб задовольнити умові завдання. Скільки варіантів розстановки могло бути? Стільки, скільки можна зробити перестановок з 30 книг, тобто P₃₀= 30!

Відповідь: 30!.

Не важливо, як ви вирішуєте задачку. Ви її вирішуєте так, як уявляєте собі свої дії в життєвій ситуації. Важливо не відступати від логіки в своїх міркуваннях, щоб в будь-якому випадку отримати правильну відповідь.

Розміщення і теорія ймовірностей

У теорії ймовірностей завдання на розміщення зустрічаються не так часто, ніж завдання на інші типи вибірок, оскільки розміщення мають більше розпізнавальних ознак – і порядок, і склад елементів, а значить – менше схильні до випадкового вибору.

Завдання 5.

На книжковій полиці знаходиться зібрання творів одного автора в 6 томах. Книги однакового формату розташовані в довільному порядку. Читач, не дивлячись, бере 3 книги. Яка ймовірність того, що він взяв перші три томи?

Рішення.

Подія A – у читача перші три томи. З урахуванням порядку вибору він міг взяти їх 6-ю способами. (Це перестановки з 3-х елементів P₃ = 3! = 1·2·3=6, які легко перерахувати 123, 132, 213, 231, 312, 321.) Таким чином, число сприятливих елементарних подій дорівнює 6.Общее число можливих елементарних подій дорівнює числу розміщень з 6-ти по 3, тобто A₆³=6·…·(6−3+1) = 6·5·4 = 120.

P(A) = 6/120 = 1/20 = 0,05.

Відповідь: 0,05.

Як замовити і оплатити?

Якщо у вас немає часу розбиратися – як правильно вирішити ту чи іншу задачу, то ви можете купити готове рішення будь-якої задачі або контрольної роботи. Завдання з комбінаторики з відповідями надішлють на вашу електронну пошту після повної оплати замовлення.

Завдання з рішенням замовляйте по посиланню нижче: