Формули скороченого множення використовуються для зведення чисел в ступінь, а також множення цих чисел і різних виразів. Не рідко такі формули скороченого множення допомагають обчислювати приклади швидше і більш компактно.

Нас шукають за такими запитами:

  • Формули скороченого множення приклади;
  • Всі формули скороченого множення;
  • Формули скороченого множення відео;
  • Як швидко вивчити формули скороченого множення;
  • Завдання на формули скороченого множення;
  • Завдання на формули скороченого множення ЗНО;
  • Алгебра 7 клас формули скороченого множення;
  • Теорема Вієта;
  • Табличка скороченого множення;
  • Тригонометричні формули.

У цій статті розглянемо найпопулярніші формули скороченого множення. Потім згрупуємо формули в табличку і розглянемо деякі приклади використання формул скорочує множення.

Таблиця №1. Приклади використання формул скороченого  множення для 7 класу

Як скоротити формули скороченого множення?

Квадрат суми двох чисел:

В алгебрі приведення цілого виразу до стандартного вигляду многочлена здійснюється за допомогою формул скороченого множення.

(a + b)2 = (a + b)(a + b)=a2 + 2ab + b2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2 (квадрат суми двох чисел)

Вираз (a+b)2 – це квадрат суми чисел a і b. За визначенням ступеня вираження (a+b)2 являє собою добуток двох многочленів (a + b) (a + b). Отже, з квадрата суми ми можемо зробити висновки, що

(a+b)2= (a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2,

тобто квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа, плюс подвоєний добуток першого числа на друге, плюс квадрат другого числа.

З правила випливає, що загальна формула квадрата суми, без проміжних перетворень, буде виглядати так:

(a+b)2=a2+ 2ab+b2

Многочлен a2+ 2ab+b2  називається розкладанням квадрата суми.

Так як a і b позначають будь-які числа або вирази, то правило дає нам можливість скороченим шляхом зводити в квадрат будь-який вираз, яке може бути розглянуто як сума двох доданків.

Приклад. Піднести до квадрата вираз 3x2+ 2xy.

Рішення: Для того щоб не виробляти зайвих перетворень, скористаємося формулою квадрата суми двох чисел. У нас повинна вийти сума квадрата першого числа, подвоєного добутку першого числа на друге і квадрата другого числа:

(3x2+ 2xy)2= (3x2)2+ 2(3x2· 2xy) + (2xy)2

А зараз, використовуючи правило множення і зведення в ступінь одночленним, спростимо цей вираз:

(3x2)2+ 2(3x2· 2xy) + (2xy)2= 9x4+ 12x3y+ 4x2y2

Квадрат різниці двох чисел:

(a — b)2= a2— 2ab + b2  (квадрат різниці двох чисел)

Вираз (ab)2 це квадрат різниці чисел a і b. Вираз (ab)2 являє собою добуток двох многочленів (ab)(ab). Отже, з квадрата різниці ми можемо зробити висновки, що

(ab)2= (ab)(ab) =a2abab+b2=a2– 2ab+b2,

Тобто. квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа, мінус подвоєний добуток першого числа на друге, плюс квадрат другого числа.

З правила випливає, що загальна формула квадрата різниці, без проміжних перетворень, буде виглядати так:

(ab)2=a2– 2ab+b2

Многочлен a2– 2ab+b2 називається розкладанням квадрата різниці.

Це правило застосовується до скороченим зведення в квадрат виразів, які можуть бути представлені як різниця двох чисел.

Приклад. Уявіть квадрат різниці двох чисел у вигляді тричлена:

(2a2– 5ab2)2

Рішення: Використовуючи формулу квадрата різниці двох чисел знаходимо:

(2a2– 5ab2)2=(2a2)2-2(2a2· 5ab2)+(5ab2)2

Тепер перетворимо вираз в многочлен стандартного вигляду:

(2a2)2-2(2a2·5ab2)+(5ab2)2=4a4-20a3b2+25a2b4

Різниця квадратів двох чисел

a2— b2 = (a + b)(a — b) – (різниця квадратів двох чисел)

Вираз a2b2 – це різниця квадратів чисел a і b. Вираз a2b2 є скорочений спосіб множення суми двох чисел на їх різницю:

(a+b)(ab) =a2+ababb2=a2b2,

тобто. добуток суми двох чисел на їх різницю дорівнює різниці квадратів цих чисел.

З правила випливає, що загальна формула різниці квадратів виглядає так:

a2b2= (a+b)(ab).

Це правило застосовується до скороченого множення таких виразів, які можуть бути представлені: один – як сума двох чисел, а інший – як різниця тих же чисел.

Приклад. Перетворіть добуток в двочлен:

(5a2+3)(5a2-3)

Рішення:

(5a2+3)(5a2-3)=(5a2)2-32=25a4-9

У прикладі ми застосували формулу різниці квадратів справа наліво, тобто нам дана була права частина формули, а ми перетворили її в ліву:

(a+b)(ab) =a2b2

При вирішенні практичних прикладів в алгебрі часто застосовують формули скороченого множення з переставленими місцями лівими і правими частинами. Це особливо зручно, коли має місце розкладання многочлена на множники. На практиці перші три формули застосовуються як зліва направо, так і справа наліво, в залежності від конкретної ситуації.

Формули скороченого множення частенько називають тотожністю скороченого множення. І тут немає нічого дивного, так як кожна рівність являє собою тотожність.

Інші формули скороченого множення:

(a +bc)2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc

Куб суми двох чисел

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 (куб суми двох чисел)

Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс утроений добуток квадрата першого числа на друге плюс утроенний добуток першого числа на квадрат другого плюс куб другого числа.

(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3

Приклад виразу:

  1. a) (m+2n)3=m3+3m22n+3·m·(2n)2+(2n)3=m3+ 6m2n +12mn2+8n3

б) (3x+2y)3=(3x)3+3·(3x)2·2y+3·3x·(2y)2+(2y)3=27x3+54x2y+36xy2+8y3

Куб різниці двох чисел

(ab)3= a3– 3a2b+3ab2-b3 (куб різниці двох чисел)

Куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус утроений добуток квадрата першого числа на друге число плюс утроений добуток першого числа на квадрат другого числа мінус куб другого числа.

(a-b)3= a3-3a2b+3ab2-b3

Приклад виразу:

а) (2x–y)3= (2x)3-3·(2x)2·y+ 3·2x·y2–y3=8x3–12x2y+6xy2–y3

б) (x–3n)3=x3-3·x2·3n+ 3·x·(3n)2– (3n)3= x3– 9x2n + 27xn2– 27n3

Сума кубів двох чисел

a3+ b3=(a + b)(a2— ab + b2) (сума кубів)

Сума кубів двох чисел дорівнює добутку суми самих чисел на неповний квадрат їх різниці.

a3+b3= (a+b)(a2–ab+b2)

Приклад виразу:

a)125+8x3=53+(2x)3=(5+2x)(52-5·2x+(2x)2)=(5+2x)(25–10x+4x2)

б)  (1+3m)(1-3m+9m2)=13+(3m)3=1+27m3

Різниця кубів двох чисел

a3b3=(a-b)(a2+ab+b2) (різниця кубів)

Різниця кубів двох чисел дорівнює добутку різниці самих чисел на неповний квадрат їх суми.

a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

Приклад виразу:

а) 64с3–8=(4с)3–23=(4с–2)((4с)2+4с·2+22)=(4с–2)(16с2+8с+4)

б) (3a–5b)(9a2+15ab+25b2)=(3a)3–(5b)3=27a3–125b3

Формула для знаходження четвертого ступеня суми двох чисел має вигляд:

(a+b)4 =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4

Формула для знаходження четвертого ступеня різниці двох чисел має вигляд:

(ab)4 =a4-4a3b+6a2b2-4ab3+b4

Дані формули скороченого множення доводяться шляхом розкриття дужок і приведення подібних доданків.

Таблиця формул скороченого множення для учнів 7 класів

Розглянемо сім основних формул скороченого множення, які вивчають учні на уроках алгебри в 7 класі:

таблиця формул скороченого множення приклади

таблиця формул скороченого множення

Добуток  суми двох чисел на їх різницю дорівнює різниці квадратів цих чисел:

Квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа:

Квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа:

Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потроений добуток квадрата першого числа на друге плюс потроений добуток першого числа на квадрат другого плюс куб другого числа:

Куб різниці двох чісел дорівнює кубу першого числа мінус потроений добуток квадрата першого числа на друге плюс потроенний добуток першого числа на квадрат другого мінус куб другого числа:

вираз в алгебрі прийнято називати неповним квадратом різниці. Якщо помножити суму двох чисел на неповний квадрат різниці цих чисел, то отримаємо формулу суми кубів.

Сума кубів двох чисел дорівнює добутку суми цих чисел на їх неповний квадрат різниці:

вираз в алгебрі, прийнято називати неповним квадратом суми. Якщо помножити різницю двох чисел на неповний квадрат суми цих чисел, то отримаємо формулу різниці кубів.

Різниця кубів двох чисел дорівнює добутку різниці цих чисел на їх неповний квадрат суми:

Група формул: сума ступенів

Група формул «Сума ступенів» становить Таблицю 2. Ці формули можна отримати, виконуючи обчислення в наступному порядку:

(x+y)2= (x+y)(x+y) ,
(x+y)3= (x+y)2(x+y) ,
(x+y)4 = (x+y)3(x+y)

Групу формул «Сума ступенів» можна отримати також за допомогою трикутника Паскаля і за допомогою бінома Ньютона, яким присвячені спеціальні розділи нашого довідника.

Таблиця 2. – Сума ступенів

Назва формули Формула
Квадрат (друга ступінь)
суми
(x+y)2=x2+ 2xy+y2
Куб (третя ступінь) суми (x+y)3=x3+ 3x2y+ 3xy2+y3
Четверта ступінь суми (x+y)4=x4+4x3y+ 6x2y2+4xy3+y4
П’ята ступінь суми (x+y)5=x5+5x4y+10x3y2+10x2y3+5xy4+y5
Шоста ступінь суми (x+y)6=x6+6x5y+15x4y2+ 20x3y3+15x2y4+ 6xy5+y6

Загальна формула для обчислення суми

(x+y)n

з довільним натуральним значенням n розглядається в розділі «Біном Ньютона» нашого довідника.

Різниця ступенів

Якщо в формулах з Таблиці 2 замінити y на – y, то ми отримаємо групу формул «Різниця ступенів» (Таблиця 3.):

Таблиця 3. – Різниця ступенів

Назва формули Формула
Квадрат (друга ступінь)
різниці
(xy)2=x2-2xy+y2
Куб (третя ступінь) різниці (xy)3=x3-3x2y+3xy2y3
Четверта ступінь різниці (xy)4=x4-4x3y+6x2y-4xy3+y4
П’ята ступінь різниці (xy)5=x5-5x4y+10x3y-10x2y+5xy4y5
Шоста ступінь різниці (xy)6=x-6x5y+15x4y-20x3y +15x2y-6xy5+y6

Квадрат многочлена

Наступна формула застосовується досить часто і називається «Квадрат многочлена»:

Квадрат многочлена формула

Щоб звести многочлен в квадрат необхідно скласти його члени в квадраті і подвоєні добутки його членів попарно взятих.

Приклади квадрата многочлена

1.(1+2+3+4)2=
12+22+3 +42+2•1 •(2+3+4)+ 2•2•(3+4)+2•3•4=
1+4+9+16+2•1•9+2•2•7 + 24 =
30+18+28+24=100;
a=1;
b=2;
c=3;
d=4;
2. (2+3+4+5)2 =
22+32+42+52+2•2 •3+2•24+2•2•5+2•34+23•5+24•5=
4+9+16+25+12+16+20+24+30+40=196;
a=2;
b=3;
c=4;
d=5;
3. (5+6+7+8)2=
52+62+72+82+2•56+2•57+2•5•8+2•67+2•6•8+2•7•8=
25+36+49+64+60+70+80+84+96+112=676;
a=5;
b=6;
c=7;
d=8;

Куб тричлена

Наступна формула називається «Куб тричлена»:

(x+y+z)3=x3+y3+z3+3x2y+3x2z+3xy2+3xz2+3y2z+3yz2+6xyz

Поради

  • Кубічний многочлен є добутком трьох многочленів першого ступеня або доюутком одного многочлена першого ступеня і неразкладаючего многочлена другого ступеня. В останньому випадку – після знаходження многочлена першого ступеня – використовується розподіл для отримання многочлена другого ступеня.
  • Всі кубічні многочлени з раціональними дійсними коренями можна розкласти. Кубічні многочлени виду x3+x+1, у яких ірраціональні корені, не можна розкласти на багаточлени з цілими (раціональними) коефіцієнтами. Хоча такий многочлен може бути розкладений по кубічній формулі, він не розкладається як цілий многочлен.

Разом із запитом «формули скороченого множення» часто шукають:

формули скороченого множення 7 клас формули скороченого множення доказ
формули скороченого множення завдання підвищеної складності формули скороченого множення словами
формули скороченого множення приклади формули скороченого множення онлайн
формули скороченого множення 7 клас контрольна робота формули скороченого множення приклади з дробом